Probability

A closer look at the distribution of number needed to treat by Thabane L.

By Thabane L.

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Statistical Design

Even if statistical layout is likely one of the oldest branches of facts, its value is ever expanding, in particular within the face of the knowledge flood that frequently faces statisticians. it is very important realize the precise layout, and to appreciate find out how to successfully enforce it, being acutely aware that the default settings from a working laptop or computer package deal can simply offer an mistaken research.

Campionamento da popolazioni finite: Il disegno campionario

- Approccio "dal basso verso l'alto" (si parte da aspetti elementari che vengono through through resi più complessi)
- Presenza di numerosi esempi e dataset
- Accessibilità con una preparazione elementare in matematica e statistica
- Cura di aspetti algoritmici relativi alla selezione di unità da popolazioni

Questo quantity è dedicato al campionamento da popolazioni finite. L'esposizione della materia procede in keeping with gradi, partendo dal disegno semplice e introducendo through through successive generalizzazioni. In questo modo il lettore è condotto advert apprendere i temi del campionamento in modo piano e graduale.
Una particolare enfasi è facts al ruolo svolto dal disegno di campionamento, di cui si curano non solo gli aspetti teorici, ma anche (soprattutto) quelli algoritmici. Questi ultimi, in generale, costituiscono una parte rilevante della trattazione, evitando che si crei un hole tra teoria e pratica e fornendo al lettore strumenti pratici in line with applicare le metodologie esposte.
L'apprendimento della materia è facilitato da un'ampia serie di esempi ed esercizi, molti dei quali basati su dataset scaricabili dalla pagina internet: http://extras. springer. com.

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Parole chiavi Campioni - Piani di campionamento - Popolazioni - Stima statistica - Trattamento dei dati statistici

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3) k≥1 The derivative and the sum can be swapped if X is finite. Otherwise, the series should be supposed uniformly convergent in ξ. Sometimes (see, for instance, the case of exponential families, Sect. 4), it is easier to check a condition of linear independence on the log-likelihood function rather than on the density functions. The following result is useful in practice. 10 Chapter 1. 1 The regularity condition (ii) of the statistical model S = {pξ } holds if and only if for any ξ ∈ E the set {∂1 x (ξ), ∂2 x (ξ), .

30 Chapter 1. 2, part (i), we find 1 1 1 Γij,k = Eξ [∂i ∂j ∂k ] = Eξ [∂i ∂j ∂k ψ] = ∂i ∂j ∂k ψ(ξ). 15). 2, we have 1 1 Γij,k (ξ) = Eξ (∂i ∂j + ∂i ∂j )∂k =Eξ (−∂i ∂j + ∂i ∂j )∂k 2 2 Fi (x)Fj (x)Fk (x) 1 1 dx. 16) induce a Riemannian metric on S. This is a 2-covariant tensor g defined locally by n gij (ξ)ai (ξ)bj (ξ), g(Xξ , Yξ ) = pξ ∈ S i,j=1 n n ai (ξ)∂i and Yξ = where Xξ = i=1 bi (ξ)∂i are vector fields in the i=1 0-representation on S. Here, for the sake of simplicity we used the ∂p notation abuse ∂i = ∂ξξi .

1 gij v i v j = 4 g(v, v) = i,j X i,j √ v i ∂ξ i p = 4 X j √ v i ∂ξ i p X i so (gij ) is non-negative definite. pξi (x)v j ∂ξ j √ v j ∂ξ j p dx i = 4 v i ∂ξi 2 dx ≥ 0, pξj (x) dx 24 Chapter 1. Statistical Models Next we shall show that g is non-degenerate: g(v, v) = 0 ⇔ √ v i ∂ξ i p 2 X 2 dx = 0 ⇔ i √ v i ∂ξ i p = 0 ⇔ = 0⇔ i √ v i ∂ξ i p i v ∂ξ i p = 0 ⇔ v = 0, i i ∀i = 1, . . , n, i since {∂ξ i p} are linear independent, which is an assumption made previously. Since (gij ) is non-degenerate, we have in fact that √ 2 v i ∂ξ i p dx > 0, 4 X i and hence (gij ) is positive definite.

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